양자장론(Quantum Field Theory)은 무한한 자유도를 갖는 양자역학이다.
이 말은 마치 양자장론과 유한한 자유도의 양자역학의 차이는 오직 자유도에 대한 양적인 차이 뿐인 것처럼 느끼게 한다. 하지만, 실제로 이러한 차이는 그 풀이에 대해 질적으로 다른 접근법을 요구한다.
무한한 자유도가 주는 가장 중요한 차이점은, 상호작용이 있는 이론의 힐버트 공간(Hilbert space)과 상호작용이 없는, 즉 자유 이론(free theory)의 힐버트 공간이 동등(equivalent)하지 않다는 점이다. 이는 섭동이론에서 조차, 이론의 에너지 스펙트럼과 그에 해당하는 고유벡터를 찾아 풀이하는 양자역학의 일반적인 방식이 쉽지 않다는 것을 의미한다. 이러한 이유로, 장론에서는 의미있는 관측량(충돌 단면적, 혹은 붕괴율)의 계산을 위해 다른 대안을 찾아야한다.
그 대안은 바로 n-점 상관함수(n-point correlation function)를 이용한 방법이다. 실제로 와이트만 정리(Wightman theorem)에 따르면, 일반적인 n-점 상관함수에 대한 정보는 그 이론 자체와 동등하며, 관측 가능한 물리량은 LSZ리덕션 방법을 통해 n-점 상관함수로부터 계산이 가능하다. 임의의 n-점 상관함수에 대한 정보는 생성 범함수(generating functional), Z[J]로 종합할 수 있으며, 이는 슈빙거-다이슨 방정식(Schwinger-Dyson equation, S-D eq.)라는 범함수 미분 방정식의 해이다.
그러므로 실상 모든 양자장론의 문제는 S-D 방정식을 푸는 문제로 귀결된다. 다행히 이는 1차 범함수 미분 방정식이고, 일반 1차 미분방정식을 푸리에 변환(Fourier transformation)을 통해 대수 방정식으로 바꿔 풀이할 수 있듯이, 함수 공간에서의 푸리에 변환을 통해 S-D 방정식을 풀 수 있다. 바로 이 해가 사실 n-점 상관함수의 생성 범함수 Z[J]의 경로적분 표현(path integral representation)이다. 여전히 operator ordering이나 regularization method와 같은 모든 복잡한 문제는 경로적분의 정의(definition)에 담겨져 있지만, 적어도 섭동이론을 통한 계산은 가능하다.
여기서 한가지 떠오른 궁금한 점은 우리가 다루는 field의 target space가 compact하지 않은 경우 소스 필드 J를 어떻게 다뤄야 하는 지에 대한 것이다. 대표적으로 대부분의 문헌에서 target space가 compact한 nonlinear sigma model을 다룰 때도 여전히 연속적인 값을 갖는 source field J를 사용하는데, compact한 공간에 대한 푸리에 모드이므로 discrete한 값을 가져야 하는게 아닌가 하지만, 나는 장론이 아닌 현상론 그것도 암흑물질을 연구하는 사람이라는 핑계로 이에 대한 답을 또 내일로 미룬다.
아.. 잠이 안오는 마드리드의 밤.
p.s. 작년에 axion field의 spinodal instability에 대해 얘기했던 어떤 논문이 있었는데, 다소 unphysical했던 그들의 결과가 혹시 이와 관련된 게 아닌가 하는 생각이 든다.
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